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Gerade bei den Mails die du über Prestashop verschickst ist die eigene Domain-Adresse zu bevorzugen, bei den meisten Providern dürftest du auch leichter Infos zu den richtigen SMTP-Einstellungen finden als bei Gmail (dort ist das sehr unübersichtlich ...). Mit Outlook hat das übrigens überhaupt nichts zu tun, damit rufst du lediglich die Mails auf deinen PC ab.

Daß bei TLS ein anderer Port eingetragen werden muß weißt du?

Ich habe jetzt noch ein wenig gegoogelt, an einer Stelle hieß es daß man bei einer Gmail-Adresse als Benutzernamen nur den Teil vor dem @ eingeben müsse, manchmal muß man wohl ein spezielles App-Paßwort verwenden ... Und dazu findet sich ein hier ein ausführlicher englischsprachiger Artikel:

https://prestahero.com/blog/post/67-set-up-free-gmail-smtp-for-the-prestashop-website.html