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Problème résolu en installant un Prestashop vierge et en le connectant à la base de données.
Le problème était lié au fait que, depuis le lien Google, il y a un "referer" qui était bloqué, mais pas quand le mode debug était activé. Dans l'onglet Informations, un grand nombre de fichiers étaient indiqués avoir été modifiés. Il était donc plus rapide et plus sûr de repartir de fichiers sains.

Par contre, à la racine de l'hébergement (donc au-dessus de www) j'ai trouvé un fichier .rdn avec du contenu binaire. Je l'ai supprimé (OVH)

Pour l'erreur lors de la désactivation du mode debug, cela semble lié à OVH mais il suffit de rafraîchir la page.