Bonjour,
si tu as réussi à faire un Controller pour afficher une nouvelle page, il faut que tu traites la soumission du formulaire dans ce même Controller dans postProcess
au niveau doc j'imagine que tu as déjà vu cette page : https://devdocs.prestashop.com/1.7/modules/concepts/controllers/front-controllers/
Inspire toi des controller déjà existant
Par exemple regarde la méthode postProcess de AddressController.php
J'espère que ça t'aidera